Paper 13 (Logika)

Logika matematika

Pernyataan

Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertutup dan terbuka.

Pernyataan tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai benar-salahnya.

Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai benar salahnya.

Negasi / pernyataan ingkaran

Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang ada di bawah ini:

Pernyataan A : 

Becak memiliki roda tiga buah

Negasi dari pernyataan A : 

Tidak benar bahwa becak memiliki roda tiga buah

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:

Konjungsi

Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ .

Disjungsi

Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'.

Implikasi

Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p ... Maka q ...'

Biimplikasi

Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol (ó) dengan makna ‘ p ….. Jika dan hanya jika q …..'

Ekuivalensi pernyataan majemuk

Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi.

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi.

Kuantor pernyataan

Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor eksistensial.

Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua.

Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.

Ingkaran dari pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya.

Paper 12 (Proposisi)

Proposisi

Konsep dan Notasi Dasar

Proposisi
Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).

Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.
Contoh 1.1
a)    6 adalah bilangan genap
b)    Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama
c)    2 + 2 = 4
d)    Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang
e)    12 ≥ 19
f)     Kemarin hari hujan
g)    Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat celcius
h)   Pemuda itu tinggi
i)     Kehidupan hanya ada di Planet Bumi

Contoh 1.2
a)    Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
b)    Serahkan uangmu sekarang!
c)    x + 3 = 8
d)    x > 3

Mengkombinasikan Proposisi
Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan  adalah dan (and), atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan  operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganyadidefinisikan sebagai berikut:
DEFINISI. Misalkan  dan adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi
p dan
Disjungsi (disjunction)  dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi
p atau
Ingkaran atau (negation) dari , dinyatakan dengan p, adalah proposisi tidak p

Paper 11 (Fungsi)

FUNGSI

Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu hubungan bilangan riil dengan dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10

Notasi{\displaystyle f(x)=\,x^{2}}

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

f : A            B

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti dengan relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Sifat-sifat fungsi

1. Fungsi injektif (satu-satu)

Jika fungsi f : A → B, setiap b ∈ B hanya mempunyai satu kawan saja di A, maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.

2. Fungsi surjektif (onto)

Pada fungsi f : A → B, setiap b ∈ B mempunyai kawan di A, maka f disebut fungsi surjektif atau onto.

3. Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)

Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

Paper 10 (Relasi)

 PENGERTIAN RELASI

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan

MACAM-MACAM RELASI

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya sendiri

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

Sebuah relasi “x + y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.  Relasi  bersifat anti-simetrik, karena  mengakibatkan . Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku  dan  berarti p = q.

Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

Atau

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Paper 9 (Himpunan Bilangan)

A. PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang telah terdefinisi secara jelas atau sekumpulan objek yang mempunyai satu kesatuan serta mempunyai keterikatan diantara anggota-anggotanya.

Contoh himpunan:

- Kumpulan kata dalam kamus

- Kumpulan buku dalam perpustakaan

Sifat keterikatan yang ada dalam kumpulan tersebut biasa disebut sifat-sifat dari himpunan:

1. Setiap objek dapat dibedakan dari yang satu dengan yang lainnya yang ada dalam unsur/elemen dari himpunan itu sendiri.

2. Dapat dibedakan mana anggota himpunan dan mana yang bukan.

B. MENYATAKAN ATAU MENULIS SUATU HIMPUNAN

1. Cara pendaftaran

Suatu cara yang dipergunakan untuk menulis himpunan dengan cara mendaftarkan setiap elemen / unsur dari himpunan tersebut.

Contoh : - himpunan bilangan bulat yang kurang dari sama dengan 18,

ditulis B= {0,1,2,3,...}

-himpunan binatang berkaki 4, ditulis B= {sapi,babi,anjing,...}

2. Cara pencirian

Suatu cara yang dipakai untuk menyatakan / menulis himpuna dengan cara menulis karakteristik dari setiap elemen / unsur himpunan tersebut.

Contoh: - himpunan bilangan real yang 2,005<x≤10,11

Dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi R={x/2,005<x≤10,11;xϵR}

-himpunan bilangan bulat, dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi: B={x/xϵb}

C. JUMLAH UNSUR SUATU HIMPUNAN

Banyaknya elemen atau unsur yang terkandung didalam himpunan itu sendiri , biasanya di beri simbol “ N(A)”= cardinal.

D. MACAM-MACAM HIMPUNAN

1. Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki elemen atau unsur. Simbol himpunan kosong

i. { }

ii. Ф atau Ǿ

Contoh : - himpunan nama hari yang diawali huruf z

-himpunan bilangan bulat 4<x<5

Jika ditulis dengan cara pencirian menjadi : A= {x/x}

2. Himpunan Bagian

Jika A adalah himpunan, B juga himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika untuk setiapn x elemen berada dalam himpunan A dan untuk setiap x elemen pula berada dalam himpunan B.

Simbol : “C”

3. Himpunan Bagian Sejati

Jika A adalah suatu himpunan dan B juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian yang sejati dari himpunan B , jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan B , paling sedikit sekurang kurangnyaada 1 elemen B Yang tidak berada dalam himpunan A.

4. Himpunan berhingga

Suatu himpunan yang elemen unsur/ anggotanya dapat dihitung banyaknya atau berhingga banyaknya. Biasanya untuk menyatakan atau menulis himpunan ini tidak perlu ditulis secara keseluruhan dari elemen-elemennya ,cukup ditulis anggota awalnya serta anggota akhirnya.

5. Himpunan Tak Berhingga

Suatu himpunan yang elemen / unsur maupun anggotanya tidak dapat dihitung banyaknya(tak berhingga). Untuk menyatakan / menulis himpunan ini tidak perlu ditulis semuanya ukup ditulis elemen awal dan titulis 3 titik tanpa ada elemen berikutnya.

6. Himpunan Semesta(S)

Suatu himpunan yang elemen/unsur anggotanya merupakan keseluruhan dari objek objek pembicaraan didalam himpunan itu sendiri.

7. Himpunan Complument ( Ac)

Jika S adalah himpunan semesta dan A merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan S, Maka Ac adalah suatu himpunan yang elemen atau unsur atau anggotanya adalah yang tidak berada pada himpunan A itu sendiri.

8. Himpunan Bersandi

Jika A dalah himpunan dan B juga himpunan maka Himpunan A dikatakan himpunan bersandi dari himpunan B jika dan hanya jika paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen dari kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama.

9. Himpunan Lepas

Jika A adalah suatu Himpunan dan B juga himpunan , maka A dikatakan himpunan lepas dari himpunan b jika dan hanya jiak kedua himpunan tersebut tidak mengandung unsur atau elemen yang saling bersekutu.

10. Himpunan Sama

Jika A suatu himpunan dan b juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan Himpunan sama dengan himpunan B ,jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan A dan x elemen berada pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya, maka dikatakan himpunan sama.

11. Himpunan Sederajat

Jika A merupakan suatu himpunan dan b juga merupaakan suatu himpunan, maka himpunan a dikatakan himpunan sederajat dengan himpunan B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah bilangan kardinal.

Paper 8 (Ekologi dan Dampak Perkembangan Iptek Terhadap Manusia)

Dampak Perkembangan Iptek terhadap Kehidupan Manusia

Perkembangan dunia iptek yang demikian pesatnya telah membawa manfaat luar biasa bagi kemajuan peradaban umat manusia. Perkembangan dunia iptek dianggap sebagai solusi dari permasalahan yang ada. Bahkan ada yang memuja iptek sebagai liberator yang akan membebaskan mereka dari kurungan kefanaan dunia.

Iptek diyakini akan memberi umat manusia kesehatan, kebahagiaan dan imortalitas. Dalam peradaban modern yang muda, terlalu sering manusia terheyak disilusi dari dampak negatif iptek terhadap kehidupan umat manusia. Kalaupun iptek mampu mengungkap semua tabir rahasia alam dan kehidupan, tidak berarti iptek sinonim dengan kebenaran. Sebab iptek hanya mampu menampilkan kenyataan. Kebenaran yang manusiawi haruslah lebih dari sekedar kenyataan obyektif. Kebenaran harus mencakup pula unsur keadilan. Tentu saja iptek tidak mengenal moral kemanusiaan. Oleh karena itu iptek tidak pernah bisa menjadi standar kebenaran ataupun solusi dari masalah-masalah kemanusiaan.

Dampak positif dan dampak negatif dari perkembangan teknologi dilihat dari berbagai bidang:

1. Bidang Informasi dan Komunikasi

Dalam bidang informasi dan komunikasi telah terjadi kemajuan yang sangat pesat. Dari kemajuan itu dapat kita rasakan dampak positifnya, yaitu :

1. Kita akan lebih cepat mendapatkan informasi-informasi yang akurat dan terbaru dibumi bagian manapun melalui internet.
2. Kita dapat berkomunikasi dengan teman, maupun keluarga yang sangat jauh hanya dengan melalui handphone.

Disamping keuntungan-keuntungan yang kita peroleh ternyata kemajuan-kemajuan teknologi tersebut dimanfaatkan juga untuk hal-hal yang negatif, yaitu :

1. Pemanfaatan jasa komunikasi oleh jaringan teroris.
2. Penggunaan informasi tertentu dan situs tertentu yang terdapat di internet, biasanya disalahgunakan oleh pihak tertentu dan untuk tujuan tertentu.
3. Bidang Ekonomi dan Industri

Dalam bidang ekonomi teknologi berkembang sangat pesat. Dari kemajuan teknologi dapat kita rasakan manfaat positifnya antara lain :

1. Pertumbuhan ekonomi yang semakin tinggi
2. Terjadinya industrialisasi
3. Produktifitas dunia industri semakin meningkat
4. Bidang Sosial dan Budaya

Akibat kemajuan teknologi bisa kita lihat :

1. Meningkatnya rasa percaya diri. Kemajuan ekonomi di negara-negara Asia melahirkan fenomena yang menarik. Perkembangan dan kemajuan ekonomi telah meningkatakan rasa percaya diri dan ketahanan diri sebagai suatu bangsa akan semakin kokoh. Bangsa-bangsa Barat tidak lagi dapat melecehkan bangsa-bangsa Asia.
2. Tekanan. Kompetensi yang tejam di berbagai kehidupan sebagai konsekuensi globalisasi, akan melahirkan generasi yang disiplin, tekun dan pekerja keras.

Meskipun demikian kemajuan teknologi akan berpengaruh negatif pada aspek budaya, yaitu akan terjadinya kemerosotan moral di kalangan warga masyarakat, khususnya di kalangan remaja dan pelajar. Kemajuan kehidupan ekonomi yang terlalu menekankan pada upaya pemenuhan berbagai keinginan material telah menyebabkan sebagian warga masyarakat menjadi “kaya dalam materi tetapi miskin dalam rohani”.

4. Bidang Pendidikan

Teknologi mempunyai peran yang sangat penting dalam bidang pendidikan, antara lain :

1. Munculnya media massa, khususnya media elektronik sebagai sumber ilmu dan pusat pendidikan. Dampak dari hal ini adalah guru bukan satu-satu nya sumber ilmu pengetahuan.
2. Munculnya metode-metode pembelajaran yang baru, yang akan memudahkan siswa dan guru dalam proses pembeljaran. Dengan kemajuan teknologi terciptalah metode-metode baru yang membuat siswa mampu memahami materi-materi yang abstrak.

Disamping itu juga terdapat dampak negatif dalam proses pendidikan, antara lain :

1. penyalahhgunaan pengetahuan bagi orang-orang tertentu untuk melakukan tindakan kriminal.
2. Bidang politik

Dibidang politik internasional juga terdapat kecenderungan tumbuh berkembangnya regionalisme. Kemajuan di bidang teknologi komunikasi telah menghasilkan kesadaran regionalisme. Ditambah dengan kemajuan dibidang teknologi transportasi telah menyebabkan meningkatnya kesadaran tersebut. Kesadaran itu akan terwujud dalam bidang kerjasama ekonomi, sehingga regionalisme melahirkan kekuatan ekonomi baru.